LAUSR

Resume En 1887 Volterra est lance dans la recherche d'une vision generale pour l'analyse qui va prendre plusieurs formes. Ses travaux les plus connus le menent ainsi a definir les fonctionnelles, ou plus precisement a developper un calcul differentiel et integral pour des « fonctions qui dependent d'autres fonctions » ou des « fonctions de lignes ». Pourtant les efforts de Volterra pour definir un contexte general pour certains problemes d'analyse vont aussi l'amener a etendre les notions de derivation et d'integration aux substitutions—matrices dont les coefficients sont des fonctions—qui ont un role important dans l'etude des equations differentielles lineaires. Dans un memoire intitule Sui fondamenti della teoria delle equazioni differenziali lineari Volterra etablit un calcul differentiel et integral pour les substitutions. Ce travail, qui permet de penser les equations differentielles lineaires grâce a deux operations sur les substitutions—derivation et integration, permet aussi d'analyser la strategie de progression mise en œuvre par le mathematicien italien dans sa recherche d'une analyse generalisee des le debut de sa carriere. Nous examinons les processus de selection et de reorganisation qui ont permis a Volterra de transposer une theorie bien etablie pour les fonctions ordinaires a un cadre adapte aux substitutions. Nous mettons ainsi au jour une dynamique de progression vers le general revelant les elements sur lesquels s'appuie sa pensee et les motifs qui l'animent. Loin d'etre anecdotique, ce texte qui ne resout pourtant aucune conjecture, permet de voir une coherence dans la maniere de progresser de Volterra, et eclaire son role dans la recherche d'une analyse generale qui deviendra petit-a-petit l'analyse fonctionnelle du 20 e siecle.