LAUSR

In this article, we study the symmetry of positive solutions to a class of singular semilinear elliptic equations whose prototype is (P ) { (−∆)s u = 1 uδ + f (u), u > 0 inΩ; u = 0 in Rn \Ω, where 0 < s < 1, n ≥ 2s, Ω = Br (0) ⊂ Rn , δ > 0, f (u) is a locally Lipschitz function. We prove that classical solutions are radial and radially decreasing (see Theorem 1). The proof uses the moving plane method adapted to the non local setting. We then give two applications of this main result: Theorem 2 establishes the uniform apriori bound for classical solutions in case of polynomial growth nonlinearities whereas Theorem 3 ensures in case of exponential growth nonlinearities the convergence of large solutions with unbounded energy to a singular solution. Résumé. Dans cet article, nous étudions la symétrie et la monotonie des solutions positives d’une équation elliptique semi-linéaire singulière dont le modèle type est (P ) { (−∆)s u = 1 uδ + f (u), u > 0 inΩ; u = 0 in Rn \Ω, où 0 < s < 1, Ω = Br (0) ⊂ Rn , n ≥ 2s, δ > 0, f : R+ → R+ est localement Lipschitz. Nous démontrons que les solutions classiques de ce problème type sont à symétrie radiale et radialement décroissantes (Théorème 1). Pour cela, nous mettons en oeuvre la méthode du “moving plane”. Nous utilisons ensuite ce résultat général de symétrie pour étudier le comportement global de solutions d’équations elliptiques singulières non locales : existence d’estimations a priori uniformes (Théorème 2), convergence de solutions à énergie non bornée vers une solution singulière (Théorème 3). 2020 Mathematics Subject Classification. 35B40, 35B45, 35J75, 35B06. Manuscript received 6th September 2019, accepted 24th April 2020. ISSN (electronic) : 1778-3569 https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/ 238 Rakesh Arora, Jacques Giacomoni, Divya Goel and Konijeti Sreenadh Version française abrégée Les problèmes faisant intervenir des opérateurs laplaciens fractionnaires apparaissent dans de nombreuses situations physiques comme la combustion, les modèles de cristaux, les modèles de dislocations dans les systèmes mécaniques, plus généralement dans les modèles où la diffusion est singulière et/ou fait intervenir des interactions de longue portée. A ce titre, ils font l’objet depuis de nombreuses années d’une intense et riche recherche. Dans cette note, nous nous intéressons aux propriétés des solutions de ces problèmes lorsqu’ils font intervenir une nonlinéarité singulière. Précisément, nous démontrons que les solutions classiques du problème non local et singulier (P ) sont radiales et radialement décroissantes (voir Théorème 1). La preuve utilise la méthode du moving plane. Comme dans le cas d’opérateurs locaux, les principaux ingrédients sont la validité d’un principe de maximum dans des domaines étroits et le principe du maximum fort. Nous soulignons ici que la généralisation de ces outils est loin d’être triviale compte tenu du caractère non local de l’opérateur et de la nature non lipschitzienne du terme source. Pour cela, nou suivons l’approche de [10]. Nous donnons ensuite deux applications à ce résultat général. La première (Théorème 2) combinant le résultat avec un théorème de Liouville établit une borne uniforme pour les solutions classiques quand la nonlinéarité est de croissance sous critique. La seconde étudie le comportement des solutions au voisinage d’une point de bifurcation asymptotique lorsque n = 1 et s = 1/2 et lorsque la nonlinéarité est de croissance exponentielle. L’occurence d’un profil d’explosion donnée par une solution singulière est démontrée sous certaines conditions (voir Théorème 3). Une étape importante dans la preuve du théorème qui constitue par ailleurs un résultat d’intérêt plus large est l’étude des singularités isolés dans l’esprit du résultat bien connu de Brezis–Lions ( [4]) dans le cas local. Dans ce contexte, le Théorème 5 (voir la preuve dans [2]) étend un résultat récent de Chen and Quaas ( [5]) dans le cas de nonlinéarités exponentielles. L’étude de problèmes nonlocaux et singuliers ont fait l’objet de contributions récentes où les questions d’existence, de multiplicité de solutions faibles ainsi que leur régularité (Höldérienne et Sobolev) ont été étudié avec diverses méthodes (voir [1], [3], [9], [11]). Les Théorème 1, 2, 3 et 5 apportent des résultats tout à fait nouveaux sur les propriétés de symétrie et de comportement global des solutions dans le contexte de ces problèmes.