LAUSR

Development of calculation methods, allowing determining the lower limits frequencies of free oscillations is actual. Such methods, in combination with the decisions by the method of finite element in displacements, will let to assess the accuracy of the frequencies of free oscillations calculated values. The frequencies of free oscillations constant cross section rods with different supports of the ends are calculating by the stress finite element analysis. The proposed method is based on combination of the additional potential energy functional and the virtual displacements principle. The last is used to construct the equilibrium equations. The solution reduces to finding the minimum of the additional energy functional with constraints in form of the linear algebraic system equilibrium equations. The equilibrium equations, taking into account inertia forces, are writing for the finite element mesh nodes in the directions of coordinate axes. Using the Lagrange multipliers the equilibrium equations are included in the functional. The Lagrange multipliers are the nodes displacements values. Considered two variants of bending moment’s approximation on the finite element field: linear and piecewise constant. The free oscillations forms are represented as polygonal lines. According to the proposed method the first three frequencies of free oscillations were defined for constant cross-section rods with different supports of the ends. The calculated values of the frequencies were compared with the exact values. In comparison with the method of finite elements in displacements, it is shown that the proposed method allows to get the opposite bound values for the frequencies of free oscillations. Аннотация. Актуальной является разработка метода расчета конструкций, позволяющего определять нижние границы частот свободных колебаний. Такие методы, в сочетании с решениями по методу конечных элементов в перемещениях, позволят дать оценку точности вычисленных значений частот свободных колебаний. В работе предлагается решение задачи определения частот свободных колебаний стержней постоянного сечения с различными опорами на концах методом конечных элементов в напряжениях. Методика основывается на сочетании функционала дополнительной энергии и принципа возможных перемещений, используемого для построения уравнений равновесия. После дискретизации предметной области, решение задачи сводится к поиску минимума функционала дополнительной энергии деформации при наличии ограничений в виде системы линейных алгебраических уравнений равновесия. Уравнения равновесия, с учетом сил инерции, составляются для узлов сетки конечных элементов по направлениям осей координат и включаются в функционал при помощи множителей Лагранжа, которыми являются величины перемещений узлов. Рассматриваются два варианта аппроксимации изгибающих моментов по области конечного элемента: линейная и кусочнопостоянная. Форма свободных колебаний представляется в виде ломанной линии. По предложенной методике были выполнены расчеты первых трех частот свободных колебаний для стержней постоянного сечения с различными вариантами опирания концов. Выполнено сравнение расчетных величин первых трех частот свободных колебаний с точными значениями. Показано, что предлагаемый метод расчета позволяет получить противоположную, по сравнению с методом конечных элементов в перемещениях, границу значений для частот свободных колебаний.